suite géométrique : suite de la forme $$u_n=u_0q^n\qquad n\in\Bbb N,q\in\Bbb R$$

Théorème :
\(u_n=q^n,q\in\Bbb R,n\in\Bbb N\)

1. Si \(q=1\), alors \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow1\)
2. Si \(-1\lt q\lt 1\), alors \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow0\)
3. Si \(q\gt 1\), alors \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow+\infty\)
4. Si \(q\leqslant-1\), alors \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) diverge

Démonstration de 3. ^[$$\begin{align}&\text{si }q\gt 1,\text{ on pose }a=q-1\text{. Alors }a\gt 0\\ &\text{et }u_n=q^n=(1+a)^n=\sum^n_{k=0}\binom nka^k1^{n-k}\tag{1}\\ &\text{d'où }u_n\geqslant 1+n\times a\\ &\lim_{n\to+\infty}(1+na)=+\infty\\ &\implies \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\end{align}$$\((1)\) \(\longrightarrow\) d'après la Formule du binôme de Newton]
Démonstration de 2. : $$\begin{align}&\text{si }-1\lt q\lt 1\text{ alors }\lvert q\rvert\lt 1\\ &\text{et donc si }q\neq0,\left\lvert\frac1q\right\rvert\gt 1\end{align}$$on revient au cas 3.
Démonstration de 4. : $$\begin{align}&u_{2n}=q^{2n}=\left(q^2\right)^n\\ &u_{2n+1}=q\times q^{2n}\\ \text{1er cas : }&u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow-1\text{ si }q=-1\\ \text{2e cas : }&u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow-\infty\text{ si }q\lt -1\end{align}$$